O modelo de Heston, conhecido por incorporar volatilidade estocástica, é crucial para a determinação do preço de derivativos financeiros. No entanto, a sua calibração apresenta desafios significativos, articularmente em termos de eficiência computacional e estabilidade numérica. A complexidade inerente do modelo surge do uso de equações diferenciais estocásticas para descrever tanto o preço do ativo quanto a sua volatilidade, exigindo técnicas numéricas sofisticadas para a estimação dos parâmetros. Assegurar a estabilidade numérica mantendo a precisão é um feito complicado. O objetivo desta tese é calibrar de forma eficiente as opções do índice S&P 500 utilizando várias técnicas de calibração sob formulações alternativas do modelo de Heston (1993). As técnicas de calibração incluem: Mean error sum of squares (MSE); Relative mean error sum of squares (RMSE); e Christoffersen (2009) (IVRMSE). As formulações examinadas incluem: o modelo de Heston original, onde abordamos a "little Heston trap"; formulação consolidada de integral único; representação de Attari (2004); transformada rápida de Fourier (FFT) de Carr e Madan (1999); e a transformada rápida fracional de Fourier (FRFT) de Chourdakis (2005).

The Heston model, renowned for incorporating stochastic volatility, is crucial for accurate pricing of financial derivatives. However, its calibration poses significant challenges, particularly in computational efficiency and numerical stability. The model’s inherent complexity arises from its use of stochastic differential equations to describe both the stock price and its volatility, requiring sophisticated numerical techniques for parameter estimation. Ensuring numerical stability while maintaining accuracy is a delicate balance. The purpose of this thesis is to efficiently calibrate S&P 500 index options using various calibration techniques under alternative formulations of the Heston (1993) model. The calibration techniques examined include: Mean Squared Error (MSE); Relative Mean Squared Error (RMSE); and Christoffersen (2009) (IVRMSE). The formulations examined include: the original Heston model where we address the "little Heston trap"; consolidated single integral formulation; Attari (2004) representation; fast Fourier transform (FFT) formulation by Carr and Madan (1999); and, Chourdakis (2005) fractional fast Fourier transform (FRFT).