Actualmente estamos a assistir a um rápido desenvolvimento de métodos baseados nos operadores de transmutação (OT) para a resolução de equações diferenciais. Em certos casos, é possível calcular as imagens de soluções para OT, o que permite construir soluções numéricas com um elevado grau de precisão para diversos problemas aplicados. No presente trabalho, pela primeira vez, e desenvolvida e ilustrada uma aplicação eficiente destes métodos aos problemas de paragem óptima que surgem na matemática financeira. A primeira parte da tese (Capítulo 2) consiste na aplicação do método ao problema de avaliação de opção com dupla barreira "knock-out" (DBKO) de estilo europeu. A construção do método passa por um apurado cálculo de valores próprios do respectivo problema de Schrodinger e a representação de soluções em termos de séries de Neumann de funções de Bessel. Esse conhecimento foi utilizado para construir um novo método de expressão analítica para definição de preço (e cobertura) de DBKO. O método pode ser aplicado a toda uma classe de difusões uni-dimensionais homogéneas no tempo, mesmo para os casos em que não é conhecida a função de densidade de transição. Neste capítulo é demonstrado que o método proposto é eficiente e simples de implementar. Para ilustrar a flexibilidade e a robustez computacional do respectivo algoritmo é construído um modelo estendido de salto para o incumprimento que oferece a possibilidade de captar certos efeitos empíricos presentes na literatura. A segunda parte da tese (Capítulos 3 e 4) e dedicada ao estudo de problemas mais complexos: problemas de fronteira livre. Para esse propósito, o método foi (em certo sentido) generalizado e testado no problema do tipo de Stefan. O método consiste numa construção eficiente de um sistema completo de soluções para uma equação diferencial parabólica a partir de um sistema completo de soluções para a equação de calor, os polinómios de calor (PC). Deste modo, foi possível estender o método numérico que existia apenas para equação de calor para uma larga classe de equações parabólicas. No entanto, para o problema financeiro seleccionado, a opção russa com horizonte finito (ORHF), o método baseado nos PCs revelou-se computacionalmente ineficiente. Isso deve-se a uma estrutura mais complicada do problema, nomeadamente as não-consistentes condições de fronteira. Como tal, foi desenvolvida uma outra variação do método que usa um sistema de soluções diferente de PCs: uma base exponencial generalizada. O método construído provou ser preciso, de relativamente fácil implementação e pode ser aplicado a uma larga classe de problemas de fronteira livre. O valor de ORHF foi e continua a ser um importante tema de discussão nas últimas décadas. A aplicação do método a esse problema confirmou vários resultados que surgiram recentemente na literatura e revelou o porque de algumas diferenças. Os métodos construídos têm uma larga gama de aplicações, tanto no âmbito de matemática financeira como em outras disciplinas. Ambos os estudos abrem várias possibilidades para futuras investigações e aplicações, as discussões das quais se encontram no texto.

Nowadays there is a fast development of the methods based on transmutation operators (TO) theory for solving differential equations. The possibility to construct the images of solutions for TO in certain cases allowed the construction of accurate numerical solutions to several problems that appear in different applied fields. In the present work, for the first time, it is shown that these methods can be effectively applied to the optimal stopping problems that appear in mathematical finance. The first part of the thesis (Chapter 2) consists of an application of the method to the valuation of European-style double-barrier knock-out options (DBKO). This is done by using the efficient computation of eigenvalues for the Shrodinger equation and a representation of solutions in terms of Neumann series of Bessel functions. This knowledge was used in the construction of a novel analytically tractable method for pricing (and hedging) DBKO, which can be applied to the whole class of one-dimensional timehomogeneous diffusions even for the cases where the corresponding transition density is not known. The proposed numerical method is shown to be efficient and simple to implement. To illustrate the flexibility and computational power of the algorithm it is constructed an extended jump to default model that is able to capture several empirical regularities commonly observed in the literature. The second part of the thesis (Chapters 3 and 4) is dedicated to the study of the more complicated problems: the free boundary problems. For this purpose, the method was first (in some certain sense) generalized and tested on the Stefan-like problem. The method consists in efficiently constructing a complete system of solutions for parabolic equation from known solutions for the heat equation, heat polynomials (HP). This way it was possible to extend the numerical method that existed only for the heat equation to the large class of parabolic equations. However, for the selected financial problem, Russian option with finite horizon (ROFH), the numerical computation from the method based on HP revealed to be non-efficient. This is due to the more complex structure of the problem, specifically the non-consistent boundary conditions. Hence, it was developed another variation of the method that uses different systems of solutions for the heat equation: the generalized exponential basis. The constructed method proved to be accurate, relatively easy to implement and can it can be applied to the large class of the free boundary problems. The value of the ROFH has been an important theme of discussion in the last decades. The application of the method to this problem confirmed several results that have appeared recently in the literature and shred some light on the differences that were present.The constructed methods have a large scope of applications not only in financial field, but also in other disciplines. Both studies also open a variety of future research and applications that are discussed in the text.