Esta tese aborda a avaliação de opções em três artigos distintos: A. The Binomial CEV Model and the Greeks Este artigo compara diferentes aproximações binomiais para o cálculo dos Greeks das opções estudadas por Pelsser and Vorst (1994), Chung and Shackleton (2002), e Chung et al. (2011), no âmbito da distribuição lognormal, mas agora considerando o processo constant elasticity of variance (CEV) proposto por Cox (1975), utilizando os Greeks analíticos em tempo contínuo, recentemente propostos por Larguinho et al. (2013) como referência. Entre os modelos binomiais considerados neste estudo, concluímos que um modelo extended tree binomial CEV com uma aproximação convergente e monótona é o método mais eficiente para o cálculo dos Greeks no âmbito do processo de difusão CEV porque podemos aplicar a fórmula de extrapolação de dois pontos, sugerido por Chung et al. (2011). B. Valuing American-Style Options under the CEV Model: An Integral Representation Based Method Este artigo deriva uma nova representação integral da barreira de exercício antecipado para a avaliação das opções Americanas no âmbito do modelo constant elasticity of variance (CEV), um importante aspecto desta nova caracterização da barreira de exercício antecipado é que este não envolve o usual processo recursivo que é habitualmente aplicado e conhecido na literatura como a abordagem de representação integral. O nosso método de avaliação não recursivo é de fácil tratamento analítico sob o processo de difusão CEV e os resultados numéricos demonstram a sua robustez e precisão. C. A Note on Options and Bubbles under the CEV Model: Implications for Pricing and Hedging O processo de desconto de preço no âmbito do modelo constant elasticity of variance (CEV) não é um martingale para os mercados de opções com uma volatility smile de inclinação ascendente. A perda da propriedade martingale implica a existência de (pelo menos) dois preços de opção para a opção de compra, que é o preço para qual se verifica a paridade put-call e este preço representa o menor custo de replicação do payoff da call. Este artigo deriva as soluções em fórmula fechada para os Greeks da opção call no risco neutral que são válidas para qualquer processo CEV que possui padrões de enviesamento ascendentes. Tendo por base uma analise numérica extensiva, concluímos que a diferença entre os preços da call e os Greeks de ambas as soluções são substanciais, o que pode gerar erros significativos de análises no cálculo do preço da call e dos Greeks.

This thesis addresses option pricing problem in three separate and self-contained papers: A. The Binomial CEV Model and the Greeks This article compares alternative binomial approximation schemes for computing the option hedge ratios studied by Pelsser and Vorst (1994), Chung and Shackleton (2002), and Chung et al. (2011) under the lognormal assumption, but now considering the constant elasticity of variance (CEV) process proposed by Cox (1975) and using the continuous-time analytical Greeks recently offered by Larguinho et al. (2013) as the benchmarks. Among all the binomial models considered in this study, we conclude that an extended tree binomial CEV model with the smooth and monotonic convergence property is the most efficient method for computing Greeks under the CEV diffusion process because one can apply the two-point extrapolation formula suggested by Chung et al. (2011). B. Valuing American-Style Options under the CEV Model: An Integral Representation Based Method This article derives a new integral representation of the early exercise boundary for valuing American-style options under the constant elasticity of variance (CEV) model. An important feature of this novel early exercise boundary characterization is that it does not involve the usual (time) recursive procedure that is commonly employed in the so-called integral representation approach well known in the literature. Our non-time recursive pricing method is shown to be analytically tractable under the local volatility CEV process and the numerical experiments demonstrate its robustness and accuracy. C. A Note on Options and Bubbles under the CEV Model: Implications for Pricing and Hedging The discounted price process under the constant elasticity of variance (CEV) model is not a martingale for options markets with upward sloping implied volatility smiles. The loss of the martingale property implies the existence of (at least) two option prices for the call option, that is the price for which the put-call parity holds and the price representing the lowest cost of replicating the payoff of the call. This article derives closed-form solutions for the Greeks of the risk-neutral call option pricing solution that are valid for any CEV process exhibiting forward skew volatility smile patterns. Using an extensive numerical analysis, we conclude that the differences between the call prices and Greeks of both solutions are substantial, which might yield significant errors of analysis for pricing and hedging purposes.